广西靖西市新靖镇中心小学    533800

一般认为，数学是一门比较成熟的学科，以至于人们往往以“数学化”的程度来评判其他学科的成熟程度。“数学化”既是数学教学活动的目的，也是实现教学目的之手段。弗赖登塔尔认为数学化分横向数学化和纵向数学化两种。横向数学化是“把生活世界引向符号世界”，纵向数学化是“在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用”。一般人们将横向数学化理解为将现实与数学建立联系；纵向数学化则常理解为是建立抽象的数学知识之间的联系，常常包含着抽象和形式化。事实上，课程改革重视横向数学化，并不代表可以忽略纵向数学化，从发展思维的角度看，纵向数学化有更重要的价值。

小学生的思维特点是以形象思维为主。学生在理解抽象的知识时，由于受心理因素的影响容易遇到一些学习障碍，比如辨认困难，缺乏空间想象力等。此时，设计合理的生活情境，给学生提供具体的材料，具有将儿童思维从生活引入学科的作用。那么小学生的数学学习中有没有纵向数学化呢？以加法为例，两只小猴分别摘了8个桃和5个桃，一共摘了多少个桃？类似的问题可以被抽象为：8和5合起来是几？这属于横向数学化。接着列出算式8＋5，考虑加法怎么算就是纵向数学化中算法的问题。随着学生的学力增长，数学化是可以从横向进一步往纵向深入的。

纵向数学化有时候更能发展学生的数学思维。教学《圆的认识》，教师出示信封中的一个圆和一些直边的图形，询问学生能否从这一堆平面图形中把圆“摸”出来。学生当然说“能”，教师便引导学生思考“为什么”，让学生比较圆和直线图形的边的特征，建立圆是曲线图形的概念。接着，教师又从信封中取出不规则的曲线图形和椭圆，让学生继续“摸”。学生判断能摸出并准确地说出依据，体会这些图形“凹凸不平”“不均匀”等不同于圆的特质，突显了圆“饱满”“均匀”的特点。

学生在这个过程中根本没有实际动手去摸，但是很明显地，他们的感受是深刻的，思维是理性的。可见，现实背景和实践操作能为学生理解概念提供有效的感知基础，但不是唯一的途径。分析、抽象对于小学生来说存在一定的难度，但某种程度上，也正是这种难度让学生的学习变得有意义了。任何学习都是有阶段性的，在某一阶段，学生经过学习会经历一些过程，同时得到一些结论。弗赖登塔尔认为这样的结论在高一层学习中又作为继续学习的常识和基础。这些结论会“再一次被提炼、组织，而凝聚成新的法则，新的法则又成为新的常识，如此不断地螺旋上升，以至于无穷”。

教学分数除法的时候，教师出示例题9/20÷3/5，教学预设是学生联系上节课分数除以整数的知识进行迁移。然而一个学生说9÷3/20÷5=3/4，但其给出的理由是：“分数乘法是分子乘分子，分母乘分母，除法应该也可以啊。”于是，教师又写出一个算式：3/5÷2/3，学生仍然采用这样的算法：3/5÷2/3=18/30÷2/3=18÷2/30÷3=9/10。显然，学生的想法是合理的，也是正确的，只是与教科书上希望他们掌握的方法不一致。弗赖登塔尔指出：“数学教育本身是个过程，不仅是传授知识，更要在过程中让学生亲身实践而抓住其发展规律，学会抽象化、形式化的方法。”实际上，如果教师愿意在课堂上拿出一些时间，引导学生继续研究这个问题，就会发现，学生解题的原理就是颠倒相乘的法则，因为：a/b÷c/d=acd/bcd÷c/d=ad/bc。教师完全可以肯定学生思路正确，并引导他们在课堂上从数理的角度得出这样的结论，这不正是“学生通过自己的努力得到的结论和创造”成为教育内容的一部分么？而且这样的结论是逻辑严谨，构造巧妙的探索。思维质量的提高，才能让课堂的对话真正精彩。

柏拉图谈及数学思想时说数学“使灵魂由变幻的世界转向真理”。今日看来，我们不妨理解为是培养人的理性精神。对于学生来说，这种理性是可以通过中小学阶段的数学学习而得到相对有效培养的。横向数学化为学生正确地感知学习内容铺平了道路，纵向数学化则为培养理性精神打开了一扇门。即使是小学生建构的数学也需要系统性，这种“系统性”正是纵向数学化应该完成的任务。