函数 的最小值为 ，最大值为 。

2、对称轴固定，区间不固定

二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”，即：轴定，区间变的二次函数最值问题。

例3.   如果函数 定义在区间 上，求 的最小值。

解：函数 ，其对称轴方程为 ，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。

如图③所示，若对称轴在区间 左侧时，有 ，此时，当 时，函数取得最小值 ；

图③                            图④                          图⑤

如图④所示，若对称轴在区间 上时，有 ，即 。当 时，函数取得最小值 ；

如图⑤所示，若对称轴在区间 右侧时，有 ，即 。当 时，函数取得最小值 。

综上有，

例4.   已知 ，当 时，求 的最大值．

解：由已知可求得其对称轴为 ．

（1）当 时， ；

（2）当 时，即 时，根据对称性有：

若 ，即 时， ；

若 ，即 时， ；

（3）当 时，即 时， ．

综上，

通过观察例题3和4的解法，最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论。不难发现：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点处或二次函数的顶点处取到。在例题3中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点离左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个解释，也就不难理解例题4为什么要那样讨论了。

小结  二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：

3、对称轴不固定，区间固定

二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但其定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”，即：轴变，区间定的二次函数最值问题。

例5.    已知 ，且 ，求函数 的最值。

解：由已知有 ，于是函数 是定义在区间 上的二次函数，将 配方得： ，则该二次函数 的对称轴方程是 ，顶点坐标为 ，图象开口向上，由 可得 ，显然其对称轴在区间 的左侧或左端点上。如图⑥所示：

函数的最小值是 ，最大值是 。

图⑥

例6 .   求函数 在 上的最大值。

解： 函数 的对称轴方程为 ，应分 ， ，  即 ， 和 这三种情况讨论，如图⑦，图⑧，图⑨所示：

   图⑦                          图⑧                        图⑨

（1）当 时；由图7可知

（2） ；由图8可知

（3） 时；由图9可知

综上， .

4、对称轴不固定，区间也不固定

二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”，即：轴变，区间变的二次函数最值问题。

例7 .  已知 ，求 的最小值。

解：由 得 ，则 .

将 代入 中，得

则函数 的对称轴为

（1）当 ，即 时，

（2）当 ，即 时，

综上有，