陕西省靖边中学 718500
圆锥曲线在中学数学中占有很重要的位置，，其光学性质在生活实践中有广泛的应用。本文笔者就抛物线、椭圆、双曲线三类圆锥曲线的光学性质给出证明以供借鉴。
一、抛物线的光学性质：自抛物线的焦点出发的光线被抛物线反射后，反射光线平行抛物线的对称轴。
如图，已知抛物线 的焦点为F ，入射光线FM射到抛物线点 处被反射，反射光线为MS，求证：MS// 轴
证明：①当 =0时，点M与原点重合，此时入射光线为FO，反射光线为OF，即在 轴上（平行特例）。
②当 时，FM⊥ 轴，此时 ，不妨取M ，此处切线 的斜率 =1，则法线MN的斜率为 =-1， ，从而 ，即 ，即
又 轴⊥FM MS// 轴
③当 时，抛物线在M处的切线 的斜率 ，则点M处的法线MN的斜率 ，又FM的斜率 ，记反射光线MS的斜率为 ，由光学性质知： 即 ，也就是： ，即 化简得
则 即MF// 轴
综上述①②③知MS// 轴 证毕
反之亦可证：平行抛物线轴的光线被抛物线反射后，反射光线经过焦点。
二、椭圆的光学性质：自椭圆一个焦点出发的光线被椭圆反射后，反射光线经过另一个焦点。
如图：已知椭圆 的左右焦点分别为 ，入射光线 在点 处被椭圆反射，
求证：反射光线经过右焦点
证：①当 =0时，显然命题成立
②当 =-c时， 不妨设M（-c ， ），点M处切线的斜率 ，其法线MN的斜率 ，由平面几何知识得： 等于切线 的倾斜角，即
由光学性质知 ， ，记反射光线MS的斜率为 ，则 解得 刚好为直线 的斜率 即反射光线经过焦点
③当 时，由题设知椭圆在M处的切线斜率 ，则该点处的法线MN的斜率 ，又入射光线 M的斜率
设反射光线MS的斜率为 ，则由光学性质知：
即 ，也就是：
即 化简得
解得： 即反射光线必经过另一焦点
综上述①②③知：命题成立
三、双曲线的光线性质：自双曲线一个焦点出发的光线被双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点
如图，已知双曲线 的左右焦点分别为 ，入射光线 在双曲线点 处被反射，求证：反射光线MS反向延长后必经过左焦点
证明：①当 =0时，显然命题成立
②当 =c时反射点M的坐标为（c ， ），不妨设M（c ， ），点M处双曲线切线的斜率为： ，其法线MN的斜率
由平面几何知识得： 等于切线 的倾斜角，即
由光学性质知 ， ，记反射光线MS的斜率为 ，则 解得 刚好为直线 的斜率
反射光线MS与 M共线，即反射光线反向延长必过
③当 时，设点M处的切线 的斜率： ，则该点处的法线MN的斜率 ，又入射光线 M的斜率
设反射光线MS的斜率为 ，则由光学性质知：
即 ，也就是： 即 化简得
解得：
即反射光线的反向延长线必经过另一焦点
综上述①②③知：命题成立
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