新疆伊犁州昭苏县高级中学 835600
[摘要]：数形结合思想是一种重要的数学思想，在中学数学中有着广泛的应用，恰当地运用数形结合思想可以使我们在解决数学问题的过程中化难为易，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化，因此在高中数学教学中应有效渗透数形结合思想，提高学生的思维能力和数学素养。本文结合自己的教学实践，阐述了如何使用教材对数形结合思想进行有效渗透，使学生逐步提高数形结合的能力。
[关键字]：数形结合 新课程 高一
一、“数形结合”的重要性
所谓数形结合思想是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，一方面借助数的精确性来阐述形的某些属性，另一方面借助形的直观性来阐述数量之间的关系。“数”与“形”作为数学中最古老最重要的两个方面，一直就是一对矛盾体。正如矛和盾总是同时存在一样，有“数”必有“形”，有“形”必有“数”。华罗庚先生曾说过：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”寥寥数语，把数形之妙说得淋漓尽致。
“数形结合”作为数学中的一种重要思想，在高中数学中占有极其重要的地位。关于这一点，查查近年高考试卷，就可见一斑。在多年来的高考题中，数形结合应用广泛，大多是“以形助数”，比较常见的是在解方程和不等式、求函数的最值问题、求复数和三角函数等问题中，巧妙运用“数形结合”思想解题，可以化抽象为具体，效果事半功倍。数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.
二、新课程背景下的“数形结合”
如此重要的数学思想自然一直被作为重点贯穿于每位数学教师的教学中， “为了每一位学生的发展”是新课改的核心理念，作为一个高中数学教师，笔者对此的理解是：以学生为本，以学生为主体，让学生自主获得更多的知识和能力。所以，对于上面提到的问题，笔者认为：1、数形结合必须要讲，高一开始就要讲。2、应对以前的灌输式教学作一些调整，具体策略是在平时上新课时就有目的地铺设一些细节使学生深入了解“数形结合”。这样做的目的就是让学生在老师提示用“数形结合”的解法前就自己想到用“数形结合”解题。
三、 关注细节，让学生主动“数形结合”
所以这次教新高一时，在平时上课中（包括新课和习题课），有目的地强化了一些细节，具体做法如下：
第一步，在新课中“数”、“形”并进，让学生见“数”想到“形”，见“形”不忘“数”。例如：
在必修1第一章“集合”内容中，除了在数集运算中借助于画数轴解决外，还要重视韦恩图的运用。韦恩图作为集合的第三种表示方法，往往容易被学生忽略，如果老师上课时多用用韦恩图来处理集合的交、并、补等运算，学生就会感受到问题一旦形象化了，运算会很方便。
在必修1第二章“函数”内容中，在解释指数函数和对数函数这对反函数时，除了像书本上那样讲之外，再增加一种“形”上的解释。即把一张画了指数函数图像的薄纸翻转过来从反面去观察，从而发现对数函数。在这一过程中（如图1所示），学生感受到了 轴和 轴的对调，以及互为反函数的两函数图像关于直线 对称的性质，更好地理解了反函数的形成。
第二步，习题课中让“数”“形”之妙体现出来。
在讲解有关可以用数形结合解题的题目时，调动学生的积极性，运用分组讨论等形式让学生感受到数形结合的便捷和乐趣。
本文试从函数图像和几何图形两个方面，举例说明“以形助数”在解决问题中的一些妙用.
一、利用数形结合思想解决集合问题
例1、已知全集 ，集合 ， ，那么集合 等于（ ）A． B． C． D．
分析:不等式表示的集合通过数轴解答.
解:在数轴上先画出 ,再画出集合 ,取其公共部分如图所示阴影部分就是集合 ,故选D
答案:D
二、利用数形结合思想解决与方程的根有关问题
例2、方程2ln x＝x2－4x＋5的实根个数为( ) A．3 B．2 C．1 D．0
[解析]∵方程2ln x＝x2－4x＋5的实根个数等价于函数f(x)＝2ln x与函数g(x)＝x2－4x＋5的图像交点的个数，∴作出函数f(x)＝2ln x，g(x)＝x2－4x＋5的图像，如图所示，其交点个数为2.故选B.
三、 利用数形结合解决函数的单调性问题
函数的单调性是函数的一条重要性质，也是高考中的热点问题之一.在解决有关问题时，我们常需要先确定函数的单调性及单调区间，数形结合是确定函数单调性常用的数学思想，函数的单调区间形象直观地反映在函数的图象中.
例3、确定函数y= 的单调区间.
画出函数的草图，由图象可知，函数的单调递增区间为（-∞，0］，［1，＋∞），函数的单调递减区间为［0，1］.
三、利用数形结合思想解三角函数题
例4、函数f（x）=sinx+2sinx，x∈［０，２π］的图象与直线y=k有且仅有２个不同的交点，则k的取值范围是 .
解析：本题根据函数解析式，画出图象，可以直观而简明地得出答案，在有时间限制的高考中就能大大地节约时间，提高考试的效率.
解、 函数f（x）＝ 由图象可知：1<k<3.
四、利用数形结合解决线性规划问题
例5、已知实数x，y满足约束条件 则z＝
2x＋y的最小值是( )
A.-4 B.-2 C.0 D.2
【解析】(1)选B. z＝2x＋y中z的几何意义是直线2x+y-z=0在y轴上的截距.
作出满足题设条件的可行域(如图)，则当直线y＝－2x＋z经过点A(－2，2)时，截距z取得最小值，即zmin＝2×(－2)＋2＝－2.
五、利用数形结合解决不等式问题
例6、不等式 4
的解集是__________________.
解：分别画出函数
与 的图象（图1），从图象可
以看出满足不等式 4
的解 集是： 。
〔评注〕：用数形结合法显得
直观、简捷，若用代数法解，把不等式 4化为 4
或 -4来求解，则较为抽象繁琐。
三、利用数形结合思想解决圆锥曲线问题题
例7、已知抛物线 和点A（2，-3），在抛物线上求一点M，使M到点A和抛物线焦点的距离之和最小，并求出这个最小值。
解：如图5，抛物线的焦点为F（0，-1），准线L为y=1,由抛物线定义可知， ，
其中M为抛物线上的点，N为MN⊥L
的垂足，所以，当A、M、N三点共线
时，所求值最小，最小值为 。
〔评注〕：使用定义，化“折”为
“直”，应用“线段最短”的概念解题，
充分体现数学概念在数学科学中的重要
地位。
例题8、设 、 分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上有点 使
∠ 且 ，则双曲线的离心率为（ ）
A、 B、 C、 D、
分析：利用双曲线的图形来反映数量之间的关系
解：由已知
根据双曲线的定义： ，得
在 中，由勾股定理得
即双曲线的离心率
通过以上几个方面的探讨，我们初步领略了数形结合在解题中的美妙所在了。数形结合思想在数学解题中的应用很广泛，渗透在学习新知识和应用知识解决问题的过程之中，需要平时多注意数形结合的应用，有意识地加强这方面的训练，提高数学思维水平。把“数形结合”作为一种数学思想，去培养学生的数学分析能力，而不只是一种解题方法。
[参考文献]
[1]傅梦生. 《数形结合的应用策略研究》, 科技咨询导报200、
[2]《高中数学怎样学》 鲁鹤鸣著 上海科学技术文献出版社 1999年4月出版。
[3]《中学数学教育学》 章士藻著 江苏教育出版社 1996年7月出版。
[4]邱海泉，浅谈数形结合思想在高中数学中的几点应用，河北：河北理科教学研究 2005，03，40-43 |
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