陕西省靖边中学  718500

    2013年高考早已落下了帷幕，经过笔者的潜心研究，发现2013年数学理科试卷中有关数列的创新题型多、内涵丰富，蕴含的数学思想深、涉及的数学知识点多、运算技巧性比较强，可以很好地考查学生的数学基本功和数学素养以及沉着应试的心理素质。下面就选取几个典型题目进行分析。

    例1.（2013年上海理科卷）在数列 中, ,若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素 ( )，则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为(     )

(A)18       (B)28           (C)48           (D)63

    分析：矩阵是高等数学中的概念， 关于矩阵的运算是高等代数里的重要版块。上海高考试卷中出现这一内容很好地体现了高考的选拔性，以及初等数学和高等数学的衔接性，为学生在大学里进一步深造打下了良好的基础。

解答：先介绍一下矩阵的概念：数学上，一个i×j的矩阵是一个由i行j列元素排列成的矩形阵列。矩阵里的元素可以是数字、符号或数学式。例如 就是一个2行3列的矩阵。

由题意可知 ，故矩阵的第i行第j列的元素 ，而 ，故矩阵中的元素可以取到的数值有 、 、 共18个。所以本题的正确答案为A.

点评：本题引入的矩阵的概念让人耳目一新，很多学生因为没有接触过这个新概念而产生了畏惧心理，从而放弃了本题。但经过细心分析，整个题目并没有运用矩阵的性质和运算，实质上考查了指数的运算和化简，虽然还有数列的通项公式，但也并没有考查数列的相关运算。所以本题就是“一只披着狼皮的羊”。

    例2.（2013年新课标I理科卷）设 的三边长分别为 , 的面积为 , ,若 , ,则(   )

A.{S_n}为递减数列                     B.{S_n}为递增数列    

C.{S_2n-1}为递增数列,{S_2n}为递减数列        D.{S_2n-1}为递减数列,{S_2n}为递增数列   

分析：根据递推公式的结构特征，找到 ，说明△ 中边 的长度不变，另外两边 、 的和不变，但当n趋于正无穷大时， 趋于 ，所以 中 边上的高随着n的增大而增大,可以知道面积随着n的增大而增大.

解答：因为 所以 ，又因为 =

，所以 ，又因为 ，所以 ，故△ 中边 的长度不变，另外两边 、 的和不变。因为

且 ，所以 ，可得 ，且当n趋于正无穷大时 ，也就是 ，所以△ 中 边上的高随着n的增大而增大，故 随n的增大而增大，故正确答案为B.

    点评：本题作为选择题的最后一道题，有一定的难度，思维量比较大。主要考查了数列递推求通项、三角形面积公式等基础知识和基本技能，意在考查学生转化与化归、函数与方程的数学思想及逻辑思维能力，是一道优质创新题。

例3.（2013福建理数）已知等比数列 的公比为q,

则以下结论一定正确的是(    )

A.数列 为等差数列,公差为       B.数列 为等比数列,公比为

C.数列 为等比数列,公比为      D.数列 为等比数列,公比为

分析：从选项中可以看出，本题要考查等差数列和等比数列的实质，只需要从定义入物判断即可。

解答：由 ，

进一步得： ，

所以 ，故数列 不是等差数列，A错误；而 ，故数列 是公比为 的等比数列，B错误；

同理： ，故C为正确答案。

 点评：虽然本题形式比较复杂，特别是对于运算能力比较薄弱的学生，有一定的难度，但实质还是考查学生对等差数列和等比数列定义的理解，是一个源于课本但又高于课本的创新题。

 例4.（2013年湖北理科卷）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,,第 个三角形数为 .记第 个 边形数为 ,以下列出了部分 边形数中第 个数的表达式:

三角形数    

正方形数     

五边形数     

六边形数     

可以推测 的表达式,由此计算 ___________.

分析：关于三角形数1，3，6，10...在历年高考中出现了多次，例如：

    ①（2010年高考陕西卷（文））观察下列等式：  

根据上述规律，第四个等式为                .

等式右边括号里的数字之和分别为3，6，10...恰好为三角形数.本题选自课本选修1-2第三章§1.2习题3-1.

   ②（2013年高考陕西卷（理））观察下列等式:

 

照此规律, 第n个等式可为______________

等式右边的数值（不看符号）也是三角形数1，3，6，10...

    ③（2012年高考湖北卷（文））传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数. 他们研究过如图所示的三角形数:

将三角形数1,3,6,10, 记为数列 ,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 . 可以推测:

(Ⅰ) 是数列 中的第________项;

(Ⅱ) ________.(用k表示)

    但本道题却前向推进了一大步，推广到了n（ ）边形数，但是细心研究 的表达式的规律，我们仍然可以较快地得到答案。

    解：经观察， 的表达式都是二次函数型且常数项为0；k分别取3，4，5，6时，二次项系数依次是 ，显然这个数列是等差数列，所以第k项为 ；又观察到二次项系数与一次项系数之和均为1，所以一次项系数为 ，从而得可以推测 的表达式为 ，由此计算出 1000.

    点评：本题是以数列为背景考查学生的逻辑推理能力和猜想能力，源于课本又高于课本。课本中首次出现三角形数是必修5第一章习题1-1B组。所以学生在复习时要注意引导他们对课本知识的梳理。

       以上几个例题仅仅是本年度高考中关于数列的创新题，主要还是考查学生对基础知识和基本技能的掌握程度，只是形式有所创新，是平时模拟试题不多见的，故表面上难度很大。毛泽东同志说过，一切“反动派”都是纸老虎，只要从战略上藐视“敌人”，战术上重视“敌人”，则做这种类型的题目主不再是难于上青天的事了。